量子计算 101

深色模式

量子门 ​

不同于经典门，在量子计算中，所有的门操作都是可逆的。

X 门（非门） ​

X 门是一个单量子比特门，是最常用的门之一。它的矩阵形式为：

X=[0110]\qgx = \qm{0}{1}{1}{0}

因此，我们有：

X(∣0⟩)=[0110][10]=[01]=∣1⟩X(∣1⟩)=[0110][01]=[10]=∣0⟩\begin{align*} X(\q{0}) &= \qm{0}{1}{1}{0}\qv{1}{0} = \qv{0}{1} \\ &= \q{1} \\ X(\q{1}) &= \qm{0}{1}{1}{0}\qv{0}{1} = \qv{1}{0} \\ &= \q{0} \end{align*}

也就是说，X 门将 ∣0⟩\q{0} 和 ∣1⟩\q{1} 互换了，就像是经典非门一样。因此，我们也将 X 门称为量子计算中的非门。

Hadamard 门 ​

Hardamard 门是一个单量子比特门，也是我们在后面的章节中最常使用到的门。它的矩阵形式为：

H=12[111−1]\qgh = \frac{1}{\sqrt{2}}\qm{1}{1}{1}{-1}

一眼看去好像并没有什么特别。让我们运算一下：

H(∣0⟩)=12[111−1][10]=12([10]+[01])=12(∣0⟩+∣1⟩)H(∣1⟩)=12[111−1][01]=12([10]−[01])=12(∣0⟩−∣1⟩)\begin{align*} H(\q{0}) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\qm{1}{1}{1}{-1}\qv{1}{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\qv{1}{0} + \qv{0}{1}) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\q{0} + \q{1}) \\ H(\q{1}) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\qm{1}{1}{1}{-1}\qv{0}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\qv{1}{0} - \qv{0}{1}) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\q{0} - \q{1}) \end{align*}

你一定注意到了，将 ∣0⟩\q{0} 和 ∣1⟩\q{1} 分别通过 Hadamard 门之后，我们得到了两个新的态矢，对它们进行测量，我们得到 ∣0⟩\q{0} 和 ∣1⟩\q{1} 的概率都是 50%50\%。这就是 Hadamard 门的作用：将 ∣0⟩\q{0} 和 ∣1⟩\q{1} 变成等概率的叠加态，也就是创造叠加态。

由于 1/2(∣0⟩+∣1⟩)1/\sqrt{2}(\q{0} + \q{1}) 和 1/2(∣0⟩−∣1⟩)1/\sqrt{2}(\q{0} - \q{1}) 的实用性，我们将它们分别记为 ∣+⟩\q{+} 和 ∣−⟩\q{-}。

这还不是最妙的。让我们对 ∣+⟩\q{+} 和 ∣−⟩\q{-} 应用 Hadamard 门：

H(∣+⟩)=12[111−1]12([10]+[01])=12([10]+[01]+[10]−[01])=[10]=∣0⟩H(∣−⟩)=12[111−1]12([10]−[01])=12([10]+[01]−[10]+[01])=[01]=∣1⟩\begin{align*} H(\q{+}) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\qm{1}{1}{1}{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}(\qv{1}{0} + \qv{0}{1}) \\ &= \frac{1}{2}(\qv{1}{0} + \qv{0}{1} + \qv{1}{0} - \qv{0}{1}) = \qv{1}{0} \\ &= \q{0} \\ H(\q{-}) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\qm{1}{1}{1}{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}(\qv{1}{0} - \qv{0}{1}) \\ &= \frac{1}{2}(\qv{1}{0} + \qv{0}{1} - \qv{1}{0} + \qv{0}{1}) = \qv{0}{1} \\ &= \q{1} \end{align*}

我们重新得到了 ∣0⟩\q{0} 和 ∣1⟩\q{1}！Hadamard 门不仅可以创造叠加态，便于我们进行量子计算，还可以将叠加态还原回 ∣0⟩\q{0} 和 ∣1⟩\q{1}，方便我们进行经典计算。因此，你将会在很多量子算法电路的开始和结束处看到 Hadamard 门。

Z 门 ​

Z 门是一个单量子比特门。它的矩阵形式为：

Z=[100−1]\qgz = \qm{1}{0}{0}{-1}

它的作用很显然，就是将 ∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩\q{\psi} = \alpha\q{0} + \beta\q{1} 变成 ∣ψ⟩=α∣0⟩−β∣1⟩\q{\psi} = \alpha\q{0} - \beta\q{1}。这并不会改变我们的测量结果。

受控非门 ​

受控非门 (Controlled NOT Gate) 是一个双量子比特门。正如它的名字所示，它的作用是对第二个量子比特应用非门，条件是第一个量子比特的值为 ∣1⟩\q{1}。我们通常不使用单个矩形来表示 CNOT 门，而是使用下面的形式：

数学上，它的矩阵形式为：

[1000010000010010]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

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